불 대수(Boolean algebra)

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2진 디지털 시스템에서 입출력 관계를 표현하는 방법과 불 대수의 기본 개념 및 공식에 대해서 알아보고, 불 함수의 대수적 간소화에 대해서 공부해봅시다.

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1. 2진 디지털 시스템에서 입출력 관계를 표현하는 방법

1) 그래프나 진리표로 표시

2) 논리함수로 표시

• 입력에 따라 변수가 어떻게 변하는지를 나타내는 함수로 표현
• 입력이 2진 논리값이므로 논리함수로 나타낸다.

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2. 불 대수의 기본 개념

1) 불 대수(Boolean Algebra)

: 0과 1의 값을 갖는 논리변수와 논리연산을 다루는 대수

• 불 대수(Boolean algebra)는 하나의 명제가 참 또는 거짓인지를 판별하기 위해 이용되는 수학적 방법으로 19세기 중반 영국의 수학자 조지 불(George Boole)에 의해 개발되었다.
• 컴퓨터는 참과 거짓을 나타내기 위해 0과 1의 두 가지 상태로 표현하는 2진 논리회로로 구성되어 있다. 이러한 논리회로를 간략하게 표현할 때 불 대수가 사용된다.

2) 불 함수(Boolean Function)

: 논리변수의 상호관계를 나타내기 위해 불 변수, 불 연산기호, 괄호 및 등호 등으로 나타내는 대수적인 표현

AND 연산

• 입력값이 모두 1일 경우에만 결과값이 1이 된다.
• 표현법
  • X AND Y 또는 XY로 표현한다.
  • 점으로 표시, 생략 가능

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OR 연산

• 입력값 중 한 개라도 1일 경우 결과값이 1이 된다.
• 표현법
  • X OR Y 또는 X + Y로 표현한다.
  • 덧셈 기호(+)로 표시

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NOT 연산

• 입력값의 반대값이 출력된다.
• 표현법:
  • NOT X 또는 X'로 표현
  • 변수 위에 줄(-)을 그어 표시

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3. 불 대수의 기본 공식

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간의 법칙, 흡수 법칙 등을 이용하여
회로를 쉽게 간소화할 수 있다.

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4. 불 함수(논리식)의 대수적 간소화

불 대수의 기본 공식을 이용해서 논리식을 간소화한다.

1) 합의 곱 표현을 곱의 합표현으로 변환한다.

• 합의 곱: (A + B)(C + D)
• 곱의 합: AC + AD + BC + BD

2) 공통 인수를 뽑아서 묶는다.

3) 기본 공식 형태로 유도해서 식을 줄여 나간다.

항 결합

• X + X' = 1이라는 성질을 이용한다.

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